Μαθηματική περιγραφή: τροχιά φορτισμένου σωματιδίου σε μαγνητικό πεδίο; μαγνητική δυσκαμψία

Η δύναμη Lorentz που ασκείται από το μαγνητικό πεδίο \( \vec{B} \) σε ένα φορτισμένο σωματίδιο φορτίου \( q \) , μάζας \(m\) και ταχύτητας \( \vec{\upsilon} \) είναι $$ \frac{d\vec{\upsilon}}{dt} = \frac{q}{\gamma m} \vec{\upsilon} \times \vec{B} ; . $$

\( \gamma \) είναι ο παράγοντας Lorentz, δηλ. ο λόγος της ενέργειας προς τη μάζα ηρεμίας \( m c^2 \). Αφού η επιτάχυνση είναι κάθετη και στο διάνυσμα του μαγνητικού πεδίου και στο διάνυσμα της ταχύτητας, η τροχιά είναι κύκλος. Ολοκληρώνοντας την εξίσωση κίνησης για ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο που είναι σταθερό στο χρόνο, $$ \vec{\upsilon} = \vec{r} \times \frac{q \vec{B}}{\gamma m} = \vec{r} \times \vec{\Omega}_c ; . $$

Η γωνιακή συχνότητα της κυκλικής κίνησης είναι \( \Omega_c = \frac{|q| |\vec{B}|}{\gamma m} \) . Η ακτίνα της κυκλικής κίνησης (ακτίνα κύκλοτρον or ακτίνα Larmor) είναι λοιπόν $$ r_c = \frac{\upsilon}{\Omega_c} = \frac{\gamma m \upsilon}{|q| |\vec{B}|} = \frac{\beta \gamma m c}{|q| |\vec{B}|} =\sqrt{\gamma^2-1} \frac{m c}{|q| |\vec{B}|} ; . $$

Οπου \( \beta \) είναι ο λόγος της ταχύτητας του σωματιδίου προς την ταχύτητα του φωτός, και \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \) . Εαν το μαγνητικό πεδίο δίνεται σε nanoTesla (nT), η ακτίνα κύκλοτρον ανά μονάδα φορτίου είναι $$ r_c = 3.1 \times 10^9 \left(\frac{B}{1 ; \mathrm{nT} }\right)^{-1} \sqrt{\gamma^2-1} ; \mathrm{m}. $$

Η ακτίνα κύκλοτρον μειώνεται όσο αυξάνεται το φορτίο

• Φυσική συνέπεια του γεγονότος ότι η δύναμη Lorentz είναι ανάλογη του φορτίου. Μπορούμε να την εκφράσουμε με τρόπο που να είναι ανεξάρτητη από το φορτίο εισάγωντας την μαγνητική δυσκαμψία: Ετσι η ορμή του φορτίου είναι: \( p=\gamma m \upsilon \) , $$ r_c = \frac{\gamma m \upsilon}{|q| |\vec{B}|} = \frac{p}{|q| |\vec{B}|} = \frac{R}{c|\vec{B}|} , $$

όπου \( R:=\frac{pc}{|q|} \) καλείται μαγνητική δυσκαμψία. Αυτή η ποσότητα μετράει την ακτίνα κύκλοτρον σε δοσμένο μαγνητικό πεδίο και αποτελεί συνεπώς ένα δείκτη της ευαισθησίας του σωματιδίου στο μαγνητικό πεδίο, ανεξάρτητα από το φορτίο ή τη μάζα του. Η τροχιά ενός φορτισμένου σωματιδίου καμπυλώνεται πιο έντονα από το μαγνητικό πεδίο, όσο μικρότερη είναι η μαγνητική του δυσκαμψία. Εάν η μαγνητική δυσκαμψία δίνεται σε giga- Volt (GV), όπως είναι χαρακτηριστικό για τη καταγραφή των κοσμικών ακτίων από τους Μετρητές Νετρονίων, η ακτίνα κύκλοτρον είναι: $$ r_c = 3.3 \times 10^9 \left(\frac{B}{1 ; \rm nT}\right)^{-1} \left(\frac{R}{1; \mathrm{GV} }\right) ; \mathrm{m}. $$

Μερικά παραδείγματα των ακτίνων κύκλοτρον στον Ηλιο, κοντά στη Γη και στην επιφάνεια της Γης (R_E: ακτίνα της Γης; η ενέργεια και η ταχύτητα αναφέρονται για ενα πρωτόνιο συγκεκριμένης δυσκαμψίας ):